已知数列{an}的前n项和
，其中k为常数，a1，a4，a13成等比数列．
（1）求k的值及数列{an}的通项公式；
（2）设
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：
．
已知数列{an}的前n项和，其中k为常数，a1，a4，a13成等比数列．
（1）求k的值及数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）由已知数列的前n项和求得an=Sn﹣Sn﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合a1，a4，a13成等比数列求得k，则通项公式可求；
（2）把（1）中求得的通项公式代入
，整理后利用裂项相消法求得数列{bn}的前n项和为Tn，放缩可得
．
【解答】（1）解：由
，有
an=Sn﹣Sn﹣1=2n+k﹣1（n≥2），
又a1=S1=k+1，
∴an=2n+k﹣1．
∵a1，a4，a13成等比数列，∴
，
即（2×4+k﹣1）2=（2×1+k﹣1）（2×13+k﹣1），解得k=2．
∴an=2n﹣1；
（2）证明：∵
=
．
∴
．
∴Tn=b1+b2+…+bn=
=
=
．
【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．