在曲线y=x3－x上有两个点O(0,0)、A(2,6),求弧OA上使△AOP的面积最大的点P的坐标.
在曲线y=x3－x上有两个点O(0,0)、A(2,6),求弧OA上使△AOP的面积最大的点P的坐标.
解法一:∵kOA=3,∴过弧OA上点P的直线的斜率k′=kOA=3. 2分
∴k′=y′=3x2－1=3.∴3x2=4. 6分
∴x=
或x=－(舍去). 8分
∴x=, y=
, 即P(,). 10分
解法二:设P(a,a3－a), ∵O(0,0),A(2,6), ∴直线OA的方程为3x－y=0.
点P到它的距离d=
∵0<a<2,∴4a>a3. ∴d2=
(4a－a3).
把d2视作一个整体, ∵(d2)′=(4－3a2),
令4－3a2=0,得a=或a=－.
又∵0<a<2, ∴a=时取最大值.
此时y=()3－=. ∴P(,).
本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.将点P的位置转化到与曲线y=x3－x相切且与OA平行的位置,此时点P到|OA|的距离最大.也可设点,构造目标函数求最值.