已知函数．                          （Ⅰ）若曲线y=f

已知函数．                         

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；        

（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；           

（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．                                           

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．                                                

【专题】计算题；压轴题．                                       

【分析】（Ⅰ） 求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，          

求出导数小于0的区间即为函数的减区间．                         

（Ⅱ） 根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），                                           

从而求得a的取值范围．                                         

（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e^﹣1，e]上有两个零点，得到，                       

 解出实数b的取值范围．                                        

【解答】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），       

因为，所以，，所以，a=1．        

所以，，． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．                           

所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．         

（Ⅱ）  ，由f'（x）＞0解得； 由f'（x）＜0解得．           

所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．         

所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，                                           

所以，即可． 则． 由解得．       

所以，a的取值范围是  ．                              

（Ⅲ） 依题得，则．         

由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．           

所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．           

又因为函数g（x）在区间[e^﹣1，e]上有两个零点，所以，         

解得．   所以，b的取值范围是．       

【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．