(12分)如图，四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
，且
，
为
中点.
（1）求证：
平面；
（2）求二面角
的大小；
（3）在线段
上是否存在点
，使得点到平面
的距离
为
？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离
为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
解析：解法一：（1）证明：∵底面
为正方形，
∴
，又
， ∴
平面
，
∴
. 同理可证
， ∴
平面．
（2）解：设
为
中点，连结
，又
为
中点，
可得
，从而
底面．
过 作
的垂线
，垂足为
,连结
．
由三垂线定理有
，
∴
为二面角
的平面角.
在
中，可求得
∴
．
∴ 二面角的大小为
．
（3）由为中点可知,
要使得点到平面
的距离为
，即要点
到平面的距离为
.
过 作
的垂线
，垂足为
,
∵平面，∴平面
平面，∴
平面，
即为点到平面的距离.∴
，∴
．
设
，由
与
相似可得
，∴
，即
．
∴在线段
上存在点
，且为中点，使得点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）证明：同解法一．
（2）解：建立如图的空间直角坐标系
， 
.
设
为平面
的一个法向量，则
，
．
又
令
则
得
．
又
是平面
的一个法向量，
设二面角的大小为 
，
则
．
∴ 二面角的大小为
．
（3）解：设
为平面的一个法向量，
则
，
．又，
令
则
得
． 又
到平面的距离
，∴
，解得
，即 
，∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为,且为中点