思路分析
:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决了.证明:(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=21·1=2,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·…·(2k-1).
则当n=k+1时,
(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)
=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)
=2k·1·3…(2k-1)·2(2k+1)
=2k+1·1·3…(2k-1)(2k+1).
即当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知对一切n∈N
*,等式成立.误区警示
当n=k+1时,等式的左边容易错写成(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1).这时我们要注意式子(n+1)(n+2)…(n+n)的结构特征以及该式与n之间的关系.