如图，在平面直角坐标系中，正方形
的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过
，
的中点
，
作
，
的平行线，相交于点
，已知
．
（1）求证：四边形
为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点
在
轴正半轴上（异于点
，点
在
轴上，平面内是否存在点
，使得以点
，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形
是正方形，
，
，
，分别是，的中点，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：如图1中，连接
．
，
，
，
．
（3）解：如图1中，连接
，设交于
，
，
，
，
，
，
，
，
①当
为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设
交
于
，过点作
轴于
，交
于
，设
．
菱形
菱形
，
，
，
，
，
是
的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图3中，过点作
轴于
，过点作
轴交
于，延长
交
于．
同法可证：
，
，设
，
，
，
是
的中位线，
，
，
，
，
，
．
②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，
，过点作
于，过点作
于．
是
的中位线，
，
同法可得：
，
，
，
，设
，则
，
，
，
，
，
点的坐标为
，
．
如图5中，，过点作
轴于交于，过点作
于．
是
的中位线，
，
，
同法可得：
，
，则
，
设
，则
，
，
，
，
，
，．
③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点作
轴于于点，交
于，过点作
于．
轴，
，
，
，
同法可得：
，
，
，
，
是
的中位线，
，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为
或
或，或
，或
．