(1)若x＞0，证明：f(x)＞
；
(2)若不等式
x2≤f(x2)+m2-2bm-3对b∈［-1,1］,x∈［-1,1］时恒成立，求实数m的取值范围.
(1)若x＞0，证明：f(x)＞；
(2)若不等式x2≤f(x2)+m2-2bm-3对b∈［-1,1］,x∈［-1,1］时恒成立，求实数m的取值范围.
答案：(1)证明：依题意有f(x)=ln(x+1),令F(x)=f(x)=ln(x+1)，
则F′(x)=
.
∴当x＞0时，F′(x)＞0，x=0，F′(x)=0，
∴F(x)在[0，+∞)上单调递增.
∴x＞0时，F(x)＞F(0)=0，即f(x)
＞0,∴f(x)＞
.
(2)解：
x2≤f(x2)+m2-2bm-3
x2-f(x2)≤m2-2bm-3，
设g(x)=
x2-f(x2)=
x2-ln(x2+1)，则g′(x)=x
.
令g′(x)=0，得x=0或±1，
列表分析最值：
x | -1 | (-1，0) | 0 | (0，1) | 1 |
g′(x) | 0 | + | 0 | - | 0 |
g(x) | 极小值为 | 递增 | 极大值为0 | 递减 | 极小值为 |
∴当x∈［-1,1］时，g(x)max=0，
∴不等式
x2-f(x2)≤m2-2bm-3对b∈［-1,1］及x∈［-1,1］时恒成立
0≤m2-2bm-3对b∈［-1,1］时恒成立.
令h(b)=m2-2bm-3，则
解得m≥3或m≤-3.
故m的取值范围为(-∞,-3］∪［3,+∞).
-ln2
-ln2