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如图1-2-6,梯形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,EF∥AD,=.试探究EF、AD、BC之

如图1-2-6,梯形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,EF∥AD,=.试探究EF、AD、BC之间的关系,并证明.

图1-2-6

答案

思路分析：

首先从特例出发,如果=,取EB中点G,过G作GH∥BC,如图1-2-7.

图1-2-7

则有H为FC的中点,

EF为梯形AGHD的中位线,

GH为梯形EBCF的中位线.∴EF=(AD+GH),GH=(EF+BC).

消去GH得3EF=BC+2AD.

同理,如果=,得5EF=2BC+3AD.

解:如果,可以猜想(m+n)EF=mBC+nAD.

下面给出证明:

连结BD,交EF于G.

∵EG∥AD,∴.∴EG=AD.

又∵AD∥EF∥BC,∴.

∵GF∥BC,∴.∴GF=BC.

∴EF=GF+EG=BC+AD.

∴(m+n)EF=mBC+nAD.

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