已知数列{an}的前n项和f(n)是n的二次函数,f(n)满足f(2+n)=f(2-n),且f(4)=0

已知数列{an}的前n项和f(n)是n的二次函数,f(n)满足f(2+n)=f(2-n),且f(4)=0,f(1)=-3.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{bn}满足bn=,求{bn}中数值最大和最小的项.

答案

解:依题意设f (x)=a(n-2)2+b(a≠0)

(1)∵f(4)=0  ∴4a+b=0.(1)

又f(1)=-3.  ∴a+b=-3.(2)

由(1),(2)得a=1,b=-4,

所以f(n)=n2-4n

又an=f(n)-f(n-1)=n2-4n-(n-1)2+4(n-1)=2n-5(n≥2)

而a1=f(1)=-3符合上式

∴an=2n-5.

(2)∵bn=

当n≥2时,bn是增函数,因此b2=0为{bn}的最小项,且bn<1,又b1=2.所以{bn}中最大的项为b1=2,最小项为b2=0.

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