已知公差不为零的等差数列{an}的首项a1=2，其前n项和为Sn，且a1，a2，

已知公差不为零的等差数列{a_n}的首项a₁=2，其前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₄成等比数列．其中n∈N*．

（1）求数列{a_n}的通项公式及{a_n•（﹣3）ⁿ}的前2n项和T_2n；

（2）设b_n=+，数列{b_n}的前n项和为P_n，求P_n，并证明P_n＜a_n+3．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由a₁，a₂，a₄成等比数列，可得=a₁a₄，解得d．可得a_n．于是a_n•（﹣3）ⁿ=2n•（﹣3）ⁿ．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得：{a_n•（﹣3）ⁿ}的前2n项和T_2n．

（2）利用“裂项求和”方法及其数列的单调性即可得出．

【解答】解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴=a₁a₄，

∴（2+d）²=2（2+3d），解得d=2．

∴a_n=2+2（n﹣1）=2n．

a_n•（﹣3）ⁿ=2n•（﹣3）ⁿ．

∴{a_n•（﹣3）ⁿ}的前2n项和T_2n=2[﹣3+2×（﹣3）²+…+（2n﹣1）•（﹣3）^2n﹣1+（2n）•（﹣3）²ⁿ]，

﹣3T_2n=2[（﹣3）²+2×（﹣3）³+…+（2n﹣1）•（﹣3）²ⁿ+（2n）•（﹣3）²ⁿ⁺¹]，

∴4T_2n=2[（﹣3）+（﹣3）²+…+（﹣3）²ⁿ﹣（2n）•（﹣3）²ⁿ⁺¹]

=2[﹣（2n）•（﹣3）²ⁿ⁺¹]=﹣，

∴T_2n=．

（2）由（1）可得：S_n==n（n+1）．

∴b_n=+=+=+=2+2，

∴数列{b_n}的前n项和为P_n=2n+2++…++

=2n+2（1+﹣）=2n+3﹣2，

可得P_n＜2n+3=a_n+3，即P_n＜a_n+3．