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已知抛物线y2=4x与直线x+y-2=0的交点为A、B,抛物线的顶点为O,在抛物线

已知抛物线y2=4x与直线x+y-2=0的交点为A、B,抛物线的顶点为O,在抛物线弧AOB上求一点C,使△ABC的面积最大,并求出这个最大面积.

答案

解：如图,设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为x+y-b=0.将它与抛物线方程y2=4x联立,得方程y2=4(b-y),

即y2+4y-4b=0,由Δ=42-4(-4b)=0,b=-1,

故切线为x+y+1=0,求得切点C(1,-2).

因直线x+y+1=0与x+y-2=0的距离d=

=,由解得交点坐标为A(4+2,-2-2)、B(4-2,-2+2).

∴|AB|=4

.于是S△ABC=|AB|·d=·4·=6,

即当C点为(1,-2)时,S△ABC的最大值为6

.

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