首页 / 已知函数f(x)=ax2+2(a+1)x+2,当-1≤a≤0时,恒有f(x)＞0成立，试求x的取值范

已知函数f(x)=ax2+2(a+1)x+2,当-1≤a≤0时,恒有f(x)＞0成立，试求x的取值范

已知函数f(x)=ax2+2(a+1)x+2,当-1≤a≤0时,恒有f(x)＞0成立，试求x的取值范围.

答案

思路分析：本题如果按二次函数问题来解决会陷入繁杂的计算，当看出关于a的函数时，问题简便获解.

解：

设h(a)=ax2+2(a+1)x+2=(x2+2x)a+(2+2x),

当x2+2x=0时,即x=0，或x=-2,

若x=0时,f(0)=2＞0,即x=0符合题意;

若x=-2时,f(-2)=-2＜0,即x=-2不合题意;

当x2+2x≠0时,函数h(a)=(x2+2x)a+(2+2x)是一次函数,

又一次函数h(a)是单调函数,当-1≤a≤0时,恒有h(a)＞0成立，

所以有即

解得-1＜x＜0，或0＜x＜2.

综上所得,x的取值范围是(-1,2).

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