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如图,二次函数x轴交于AB两点,与y轴交于C点,点PA点出发,以1个单位每秒的速度向点B运动,点Q同时从C点出发,以相同的速度向y轴正方向运动,运动时间为t秒,点P到达B点时,点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点

(1)求直线AC的解析式;
(2)设△PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式;
(3)在y轴上找一点M,使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标;
(4)过点PPEAC,垂足为E,当P点运动时,线段EG的长度是否发生改变,请说明理由。

答案

(1)
(3)一共四个点,(0,),(0,0),(0,),(0,-2)
(4)当P点运动时,线段EG的长度不发生改变,为定值,理由见解析解析:
解:(1)   
    6分
(3)一共四个点,(0,),(0,0),(0,),(0,-2). (10分)
(4)当P点运动时,线段EG的长度不发生改变,为定值.
当0<t<2时,过G作GH⊥y轴,垂足为H.
由AP=t,可得AE=
由相似可得GH=
所以GC=
于是,GE=AC-AE-GC=.                             
即GE的长度不变.
当2<t ≤ 4时,同理可证.
综合得:当P点运动时,线段EG的长度不发生改变,为定值     14分
(1)直线AC经过点A,C,根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标,利用待定系数法就可求得AC的解析式;
(2)根据三角形面积公式即可写出解析式;
(3)可以分腰和底边进行讨论,即可确定点的坐标;
(4)过G作GH⊥y轴,根据三角形相似,相似三角形的对应边的比相等即可求解.

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