设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
考点：
数列递推式；等比关系的确定．
专题：
综合题．
分析：
（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由Sn+1=4an+2和Sn=4an﹣1+2相减得an+1=4an﹣4an﹣1，即an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1），所以bn=2bn﹣1，由此可知{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．
（2）由题设知
．所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列．由此能求出数列{an}的通项公式．
解答：
解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，
得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．
由Sn+1=4an+2，①
则当n≥2时，有Sn=4an﹣1+2，②
①﹣②得an+1=4an﹣4an﹣1，所以an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1），
又bn=an+1﹣2an，所以bn=2bn﹣1，所以{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（I）可得bn=an+1﹣2an=3•2n﹣1，所以．
所以数列是首项为，公差为
的等差数列．
所以
，即an=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）
点评：
本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．