已知椭圆
,是否存在斜率为k(k≠0)的直线
,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段
的垂直平分线经过点M（0,－1），求斜率k的取值范围.
已知椭圆,是否存在斜率为k(k≠0)的直线,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段的垂直平分线经过点M（0,－1），求斜率k的取值范围.
假设存在直线
满足条件，设直线方程为:y=kx+b,则
由方程组
消
得: (3k2+1)x2+6bkx+3b2－3=0 , 因为直线与椭圆交于不同两点,
所以△=(6bk)2－4(3k2+1)(3b2－3)>0,整理得:3k2+1>b2 --------①
设A（x,y）,B(x2,y2)，AB的中点为
,
∵点A、B在椭圆上,∴
,两式相减得:
,∴
,
又由中点坐标公式得:
,
,∴
--------②
又因为点
在线段AB的中垂线上,即直线
的斜率为
-------③，由②③得：
,
,
因为AB的中点在直线上,所以
, 即有
-------④,
将④代入①得:
,解得:
,又因为
,
所以存在斜率为k(k≠0)的直线,使与椭圆
交于不同的两点A、B，且线段
的垂直平分线经过点M（0,－1），,故k的取值范围是.