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如图甲所示，建立Oxy坐标系。两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对

如图甲所示，建立Oxy坐标系。两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l。在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0～3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）

图甲

图乙

（1）求电压U0的大小。

（2）求

时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

 

答案

分析：带电粒子在电场中偏转，做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动。正确画出运动轨迹。

解：（1）t=0时刻进入两板间的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为，则有

①

qE=ma②

③

联立①②③式，解得两板间偏转电压为

④

（2）

时刻进入两板间的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两板间没有电场，带电粒子做匀速直线运动。

带电粒子沿x轴方向的分速度大小为

⑤

带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为

⑥

带电粒子离开电场时的速度大小为

⑦

设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有

⑧

联立③⑤⑥⑦⑧式解得

⑨

（3）2t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为

vy′=at0⑩

设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则

*

联立③⑤⑩式解得

带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，圆弧所对的圆心角

，所求最短时间为

带电粒子在磁场中运动的周期为

联立

式得


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