如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8，
（1）求证：AE=CD；
（2）求点C坐标和⊙M直径AB的长；
（3）求OG的长．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8，
（1）求证：AE=CD；
（2）求点C坐标和⊙M直径AB的长；
（3）求OG的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）要证明AE=CD，即证明
，由点C是
的中点和AB⊥CD可知，
，从而可得
；
（2）由垂径定理可知：OC=
CD=AE=4，所以点C的坐标为（0，4），连接AC和BC后，证明△CAO∽△BAC，可得CA2=AO•AB，从而可求出AB的长度；
（3）由
可知，AG=CG，设AG=x，则OG=4﹣x，利用勾股定理可列出方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）∵点C是
的中点，
∴
，
∵AB⊥CD，
∴由垂径定理可知：
=
，
∴
，
∴
，
∴AE=CD；
（2）连接AC、BC，
由（1）可知：CD=AE=8，
∴由垂径定理可知：OC=
CD=4，
∴C的坐标为（0，4），
由勾股定理可求得：CA2=22+42=20，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△CAO∽△BAC，
∴
，
∴CA2=AO•AB，
∴AB=
=10；
（3）由（1）可知：
，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AG=CG，
设AG=x，
∴CG=x，OG=OC﹣CG=4﹣x，
∴由勾股定理可求得：AO2+OG2=AG2，
∴22+（4﹣x）2=x2，
∴x=
，
∴OG=4﹣x=
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识进行解答．