已知二次函数f（x）=x2+bx+c（其中b，c为实常数）． （Ⅰ）若b＞2，且

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（其中b，c为实常数）．

（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为﹣1，求函数y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x²+bx+c，﹣1≤x≤0}=[﹣1，0]，若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．

①若A≠∅，求证：B≠∅；

②若A=∅，判断B是否也为空集．

【考点】二次函数的性质．

【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴小于﹣1，得到关于b，c的方程组，解出即可；

（Ⅱ）求出f（x）的对称轴，通过讨论对称轴的位置，结合函数的值域求出b，c的值，从而求出f（x）的表达式即可；

（Ⅲ）通过整理方程得到x²+（b﹣1）x+c=0或x²+（b+1）x+b+c+1=0，结合二次函数的性质进行证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）由条件知f（x）=x²+bx+c的最大值为5，最小值为﹣1

而b＞2，则对称轴，

则，即，

解得

则f（x）=x²+3x+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）f（x）=x²+bx+c，﹣1≤x≤0，对称轴x=﹣，

若b≥2，则，则，

解得，此时f（x）=x²+2x，

若b≤0，则，则，

解得，此时f（x）=x²﹣1，

若0＜b≤1，则，则，

解得（舍）或（舍），

此时不存在函数f（x），若1＜b＜2，则，

则，解得（舍）或（舍），此时不存在函数f（x），

综上所述存在函数f（x）=x²﹣1和f（x）=x²+2x满足条件﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅲ）由f（x）=x²+bx+c得f（f（x））=f²（x）+bf（x）+c及c=f（x）﹣x²﹣bx，

由f（f（x））=x得到f²（x）+bf（x）+c=x，即f²（x）+bf（x）+f（x）﹣x²﹣bx=x，

整理得到f²（x）﹣x²+b（f（x）﹣x）+（f（x）﹣x）=0，

即（f（x）﹣x）（f（x）+x+b+1）=0①

即f（x）﹣x=0或f（x）+x+b+1=0，

即x²+（b﹣1）x+c=0②或x²+（b+1）x+b+c+1=0③

方程②的判别式△=（b﹣1）²﹣4c

方程③的判别式，

①若A≠ϕ，即f（x）﹣x=0有解，即x²+（b﹣1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，

即B≠ϕ，

②若A=ϕ，即△＜0，则△₁＜0，②和③均无解，则①无解，即B=ϕ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣