如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2
，CE=1，求△CGF的面积．
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．
【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF=BF，
∴∠BCF=∠CBF，
由（1）知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图3，∵AC=2
，
∴BC=AC=2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD=
=3，
∵点F是BD中点，
∴CF=DF=
BD=
，
同理：EG=
AE=
，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，
∴FH=CD=，
∴S△CEF=CE•FH=×1×=
，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF=CF•ME=×ME=
ME，
∴ME=
，
∴ME=
，
∴GM=EG﹣ME=
﹣=
，
∴S△CFG=
CF•GM=××=
．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．