设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f (x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f (x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力
解：（I）∵
（
），
∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,
即h(t)=-t3+t-1.
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.
当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：
| t | (0,1) | 1 | (1,2) |
| g’(t) | + | 0 | - |
| g(t) | 递增 | 极大值1-m | 递减 |
∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m
h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1