【小题1】问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC
【小题1】问题1 已知：如图1，三角形
ABC中，点
D是
AB边的中点，
AE⊥
BC，
BF⊥
AC，垂足分别为点
E，
F，
AE，
BF交于点
M，连接
DE，
DF．若
DE=
DF，则
的值为____
_．
【小题2】拓展
问题2 已知：如图2，三角形
ABC中，
CB=
CA，点
D是
AB边的中点，点
M在三角形
ABC的内部，且∠
MAC=∠
MBC，过点
M分别作
ME⊥
BC，
MF⊥
AC，垂足分别为点
E，
F，连接
DE，
DF．求证：
DE=
DF．
【小题3】推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“
CB=
CA”变为“
CB≠
CA”，其他条件不变，试探究
DE与
DF之间的数量关系，并证
明你的结论．
【小题1】
的值为
1【小题2】证明：如图9．
∵
CB=
CA，
∴∠
CAB=∠
CBA．
∵∠
MAC=∠
MBC，
∴∠
CAB－∠
MAC=∠
CBA－∠
MBC，
即∠
MAB=∠
MBA．
∴
MA=
MB．
∵
ME⊥
BC，
MF⊥
AC，垂足分别为点
E，
F，
∴∠
AFM=∠
BEM=90°．
在△
AFM与△
BEM中，
∠
AFM=∠
BEM，
∠
MAF =∠
MBE，
MA=
MB，
∴△
AFM≌△
BEM．
∵点
D是
AB边的中点，
∴
BD =
AD．
在△
BDE与△
ADF中，
BD =
AD，
∠
DBE =∠
DAF，
BE =
AF，
∴△
BDE≌△
ADF．
∴
DE=
DF．
【小题3】解：
DE=
DF．
证明：分别取
AM，
BM的中点
G，
H，连接
DG，
FG，
DH，
EH．（如图10）
∵点
D，
G，
H分别是
AB，
AM，
BM的中点，
∴
DG∥
BM，
DH∥
AM，且
DG=
BM，
DH=
AM．
∴四边形
DHMG是平行四边形．
∴∠
DHM =∠
DGM，
∵
ME⊥
BC，
MF⊥
AC，垂足分别为点
E，
F，
∴∠
AFM=∠
BEM=90°．
∴
FG=
AM=
AG，
EH=
BM=
BH
．
∴
FG=
DH，
DG=
EH， ∠
GAF =∠
GFA，∠
HBE =∠
HEB．
∴∠
FGM =2∠
FAM，∠
EHM =2∠
EBM．
∵∠
FAM=∠
EBM，
∴∠
FGM =∠
EHM．
∴∠
DGM+∠
FGM =∠
DHM+∠
EHM，即∠
DGF=∠
DHE．
在△
EHD与△
DGF中，
EH =
DG，
∠
EHD =∠
DGF，
HD =
GF，
∴△
EHD≌△
DGF．
∴
DE=
DF． 解析:
略
