（本小题满分14分）如图，正方形
所在的平面与平面
垂直，
是
和
的交点，
，且
．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求直线
与平面所成的角的大小；
(Ⅲ)求二面角
的大小．
（本小题满分14分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；
(Ⅲ)求二面角的大小．
解法一：(Ⅰ)∵四边形
是正方形，
． ………………………1分
∵平面
平面
，
又∵
，
平面
．……………………3分
平面，
． …………………………4分
平面
． ………………5分
(Ⅱ)连结
，
平面，
是直线
与平面
所成的角． ……………………………5分
设
，则
，
， ……………………………………………6分
，
．
即直线与平面所成的角为
． …………………………………………8分
(Ⅲ)过
作
于
，连结
． ………………………………………9分
平面，
．
平面
．
是二面角
的平面角． ……10分
∵平面平面，
平面．
．
在
中， ，有
．
由(Ⅱ)所设可得
，
，
． …………………………………………12分
．
．
∴二面角等于
． ……………………………………………14分
解法二: ∵四边形是正方形 ，
，
∵平面平面，
平面， ………………………………………2分
∴可以以点为原点，以过点平行于
的直线为
轴，分别以直线
和
为
轴和
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
．
设
，则
，
是正方形的对角线的交点，
．…………………………………4分
(Ⅰ)
，
，
，
， ………………………………………6分
平面． …………………………………7分
(Ⅱ) 平面，
为平面的一个法向量， ……………………………………………8分
，
． ……………………………………………9分
．
∴直线与平面所成的角为． ………………………………………10分
(Ⅲ) 设平面
的法向量为
，则
且
，
且
．
即
取
，则
， 则
． ……………………………………………12分
又∵
为平面的一个法向量，且
，
，
设二面角的平面角为
，则
，
．
∴二面角等于． ……………………………………………14分