（08年安徽皖南八校联考）（本小题满分14分）
如图所示，边长为2的等边△
所在的平面垂直于矩形
所在的平面，
，
为
的中点．
（1）证明：
⊥
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求点
到平面
的距离．
（08年安徽皖南八校联考）（本小题满分14分）
如图所示，边长为2的等边△所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
（1）证明：⊥；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
解析:（法一）（1）证明：取
中点
，连接
、
．
∵△
是等边三角形，∴⊥，
又平面⊥平面
，
∴⊥平面，∴
在平面内射影是
，
………………………2分
∵
=2，
，
，
,
∴△
∽△
，∴
．
又
°，∴
°，
∴
°，∴
⊥
， …………………………………………………4分
由三垂线定理知⊥
…………………………………………………………5
（2）解：由⊥，⊥得
是二面角
的平面角 …………6分
在Rt△
中，
，
，…8分
∴
，………………………………………………………………9分
°，∴二面角的大小是45° ……………………………10分
（3）解：设
到平面
的距离距离是
，则
， ………………11分
，
，
．又
，
，
∴=
，∴点到平面
的距离距离是 ……………………………14分
（方法二）证明：取
中点
，连接
，
∵△
是等边三角形，∴⊥，
又∵平面⊥平面
，
∴⊥平面，又是矩形，
∴可建立如图所示的空间直角坐标系 …………………………………………………2分
∵=2，
，
∴
（
，-1，0），
（
，1，0），
（0，0，
），……………………3分
∴
（-，2，0），
（，1，-），∴
=
………………………………………………………………………………………4分
∴
⊥，∴
⊥
………………………………………………………5分
（2）解：由（1）知平面
的法向量m=
（0，0，）……………………6分
设平面
的法向量n =（
，
，
），则n⊥，n⊥，
∴
，
，
取
，得
，
………………………………………………………8分
n =（1，
，
），
，
∴二面角
的大小是45° ………………………………………………10分
（3）解：
（0，―1，0），，
（0，-1，-） ……………………………11分
又n =（1，，），∴
………………………………………13分
∴点到平面
的距离距离是
． …………………………………………14分