已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，一条准线方程为x=2．过椭圆的上

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，一条准线方程为x=2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）利用=， =2，及其b=，解出即可得出．

（2）证法一：设P点坐标为（x₁，y₁），则Q点坐标为（x₁，﹣y₁）．可得k_AP，直线AP的方程为y=x+1．令y=0，解得m．同理可得n．再利用（x₁，y₁）在椭圆+y²=1上，即可得出mn．

解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1，令y=0，得m．联立，解得P，则可得Q点的坐标．可得k_AQ，可得直线AQ的方程，可得n，即可得出．

【解答】解：（1）∵=， =2，

解得a=，c=1，

∴b==1．

故椭圆的方程为+y²=1．

（2）证法一：设P点坐标为（x₁，y₁），则Q点坐标为（x₁，﹣y₁）．

∵k_AP==，

∴直线AP的方程为y=x+1．

令y=0，解得m=﹣．

∵k_AQ==﹣，

∴直线AQ的方程为y=﹣x+1．

令y=0，解得n=．

∴mn=﹣×=．

又∵（x₁，y₁）在椭圆+y²=1上，

∴=1，即1﹣=，

∴mn=2．

∴以mn为常数，且常数为2．

解法二：设直线AP的斜率为k（k≠0），则AP的方程为y=kx+1，

令y=0，得m=﹣．

联立

消去y，得（1+2k²）x²+4kx=0，解得x_A=0，x_P=﹣，

∴y_P=k×x_P+1=，

则Q点的坐标为（﹣，﹣）．

∴k_AQ==，

故直线AQ的方程为y=x+1．

令y=0，得n=﹣2k，

∴mn=（﹣）×（﹣2k）=2．

∴mn为常数，常数为2．