本小题满分12分
设数列
的前
项和为
，如果
为常数，则称数列为“科比数列”．
（1）等差数列
的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；
（2）数列
的各项都是正数，前项和为，若
对任意
都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．
本小题满分12分
设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．
（1）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；
（2）数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．
【解】（1）设等差数列
的公差为
，
，因为
，则
，即
． 整理得，
． ………………3分
因为对任意正整数
上式恒成立，则
，解得
． …… 5分
故数列的通项公式是
． …………… 6分
⑵ 由已知，当
时，
．因为
，所以
． …………7分
当
时，
，
．
两式相减，得
．
因为
，所以
=
． …………9分
显然适合上式，所以当时，
．
于是
．
因为
，则
，
所以数列
是首项为1，公差为1的等差数列．
所以
不为常数，故数列不是“科比数列”． ……12分