已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中b_n＞0（n∈N*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

【考点】8E：数列的求和；81：数列的概念及简单表示法．

【分析】本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式a_n+1=2S_n+1构造出a_n=2S_n﹣1+1两者作差得出a_n+1=3a_n，此处是的难点，数列的{b_n}的求解根据题意列出方程求d，即可，

（II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用．

【解答】解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），

∴a_n=2S_n﹣1+1（n∈N^*，n＞1），

∴a_n+1﹣a_n=2（S_n﹣S_n﹣1），

∴a_n+1﹣a_n=2a_n，

∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）

而a₂=2a₁+1=3=3a₁，

∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）

∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴a_n=3^n﹣1（n∈N^*）

∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，

在等差数列{b_n}中，

∵b₁+b₂+b₃=15，

∴b₂=5．

又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，设等差数列{b_n}的公差为d，

∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64

解得d=﹣10，或d=2，

∵b_n＞0（n∈N*），

∴舍去d=﹣10，取d=2，

∴b₁=3，

∴b_n=2n+1（n∈N^*），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n﹣1）3^n﹣2+（2n+1）3^n﹣1①

3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n﹣1）3^n﹣1+（2n+1）3ⁿ②

①﹣②得﹣2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n﹣1﹣（2n+1）3ⁿ

=3+2（3+3²+3³++3^n﹣1）﹣（2n+1）3ⁿ

=，

∴T_n=n•3ⁿ