如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=
，DF=2BF，求AH的值．
如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定．
【分析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得
=
求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，
∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，
∴∠CBD+∠EBC=90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是⊙O切线．
（2）解：∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠EBC，
∴∠A=∠BCG，
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴=，即BC2=BG•BA=48，
∴BC=4
，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴BC2=BF•BD，
∵DF=2BF，
∴BF=4，
在RT△BCF中，CF=
=4
，
∴CG=CF+FG=5
，
在RT△BFG中，BG=
=3
，
∵BG•BA=48，
∴
即AG=5，
∴CG=AG，
∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，
∴∠CHF=∠CBF，
∴CH=CB=4
，
∵△ABC∽△CBG，
∴
=
，
∴AC=
=
，
∴AH=AC﹣CH=
．
