（本题满分16分）已知数列
中，
，
，且
．（Ⅰ）设
，证明
是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若
是
与
的等差中项，求
的值，并证明：对任意的
，
是
与
的等差中项．
（本题满分16分）已知数列中，，，且
．（Ⅰ）设，证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
解析：（Ⅰ）证明：由题设
，得
，
即
．
又
，
，所以
是首项为1，公比为
的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
，
……
．
将以上各式相加，得
．所以当
时，
上式对
显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当
时，显然
不是
与
的等差中项，故
．
由
可得
，由得
， ①
整理得
，解得
或
（舍去）．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
．
所以对任意的
，
是
与
的等差中项．