已知f（x）=ln（x+1）﹣
（a∈R）．
（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；
（2）设正项数列{an}满足a1=1，an=ln（an﹣1+1）（n≥2），求证：
≤an≤
（n∈N*）．
已知f（x）=ln（x+1）﹣（a∈R）．
（1）求证：a≤1且x≥0时，f（x）≥0恒成立；
（2）设正项数列{an}满足a1=1，an=ln（an﹣1+1）（n≥2），求证：≤an≤（n∈N*）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；
（2）a=1时，
在[0，+∞）内恒成立，
在[0，3）内恒成立，由a1=1及an=ln（an﹣1+1）（n≥2）知0＜an≤1，根据数学归纳法证明即可．
【解答】证明：（1）
…；
当a≤1，x≥0时，f'（x）≥0恒成立 …；
此时函数f（x）在（0，+∞）内单调递增 …；
所以f（x）≥f（0）=0，得证 …；
（2）由（1）可知a=1时，在[0，+∞）内恒成立 …；
同理可证：在[0，3）内恒成立 …；
由a1=1及an=ln（an﹣1+1）（n≥2）知0＜an≤1…
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，
，结论成立 …；
设当n=k时结论成立，即
那么当n=k+1时，
…
…
即当n=k+1时有
，结论成立，
由此可知对任意n∈N*结论都成立，原不等式得证．…