在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1． （1）过C1的左顶

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²﹣y²=1．

（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）过点Q作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，求直线l的方程；

（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1．若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．

（2）过点Q作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，直线l与双曲线的渐近线平行，可得结论；

（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=x，利用，求|ON|²=．同理|OM|²=，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．

解答： 解：（1）双曲线C₁：2x²﹣y²=1左顶点A（﹣，0），

渐近线方程为：y=±x．

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，

所以，解得．

所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=；

（2）由题意，直线的斜率存在，

∵过点Q作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，

∴直线l与双曲线的渐近线平行，

∵渐近线的斜率为±，

∴直线l的方程为y﹣=（x+），即y=x+2+或y=﹣x﹣2+；

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=x，由得，

所以|ON|²=．

同理|OM|²=，

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，

所以=+=3，

即d=．

综上，O到直线MN的距离是定值．