(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-AC-D的大小;
(3)若F为线段BC的中点,求点D到平面PAF的距离.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-AC-D的大小;
(3)若F为线段BC的中点,求点D到平面PAF的距离.
∴BC⊥AB.又BC⊥PB,
∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PA.
同理,CD⊥PA,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)设M为AD中点,连结EM.
又E为PD中点,
可得EM∥PA,从而EM⊥底面ABCD.
过M作AC的垂线MN,垂足为N,连结EN.
由三垂线定理有EN⊥AC,
∴∠ENM为二面角EACD的平面角.
在Rt△EMN中,可求得EM=1,MN=
,
∴tan∠ENM=
=
.
∴二面角EACD的大小为arctan
.
(3)过D作AF的垂线DG,垂足为G,∵PA⊥平面ABCD,
∴平面PAF⊥平面ABCD.∴DG⊥平面PAF.
∴DG为点D到平面PAF的距离.
由F为BC中点,可得AF=
.
又△ABF与△DGA相似,可得
,
∴DG=
,
即点D到平面PAF的距离为
.
解法二
:(1)证明:同解法一.(2)建立如图的空间直角坐标系A—xyz,
则A(0,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1).
设m
=(x,y,z)为平面AEC的一个法向量,则m
⊥
,m⊥
.又
=(0,1,1),
=(2,2,0),∴
令x=1,则y=-1,z=1,
得m
=(1,-1,1).又
=(0,0,2)是平面ACD的一个法向量,
设二面角E-AC-D的大小为θ,
则cosθ=cos〈m
,
〉=
.∴二面角E-AC-D的大小为arccos
.
(3)∵F为BC中点,∴F(2,1,0).
设n
=(a,b,c)为平面PAF的一个法向量,则n
⊥
,n⊥
.又
=(0,0,2),
=(2,1,0),∴
令a=1,则b=-2,c=0,
得n
=(1,-2,0).又
=(0,2,0),
∴点D到平面PAF的距离=
.