（20分）位于竖直平面内的矩形平面导线框。长为，是水平的，长为

（20分）位于竖直平面内的矩形平面导线框。长为，是水平的，长为，线框的质量为，电阻为.。其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界和均与平行，两边界间的距离为，，磁场的磁感应强度为，方向与线框平面垂直，如图预16-4所示。令线框的边从离磁场区域上边界的距离为处自由下落，已知在线框的边进入磁场后，边到达边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到边刚刚到达磁场区域下边界的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？

参考解答

设线框的边刚到达磁场区域上边界时的速度为，则有

                                                 （1）

边进入磁场后，按题意线框虽然受安培力阻力作用，但依然加速下落．设边下落到离的距离为时，速度达到最大值，以表示这个最大速度，这时线框中的感应电动势为

线框中的电流

作用于线框的安培力为

                                                   （2）

速度达到最大的条件是安培力

由此得

                                                          （3）

在边向下运动距离的过程中，重力做功，安培力做功，由动能定理得

将（1）、（3）式代入得安培力做的功

                                        （4）

线框速度达到后，做匀速运动．当边匀速向下运动的距离为时，边到达磁场的边界，整个线框进入磁场．在线框边向下移动的过程中，重力做功，安培力做功，但线框速度未变化，由动能定理

                             （5）

整个线框进入磁场后，直至边到达磁场区的下边界，作用于整个线框的安培力为零，安培力做的功也为零，线框只在重力作用下做加速运动。

所以，整个过程中安培力做的总功

                            （6）

〔编注：此题命题有不严密之处。由微分方程

的解

可知，只有当时，才能趋向极限速度（即线框下落无穷长的距离，速度才能趋向）。原题说边未进入磁场即达到最大速度是不确切的。〕