如图，过原点
引两条直线
与抛物线
和
（其中
为常数，
）分别交于四个点
.
（Ⅰ）求抛物线
准线间的距离；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）若
，求梯形
面积的最小值.
如图，过原点引两条直线与抛物线和（其中为常数，）分别交于四个点.
（Ⅰ）求抛物线准线间的距离；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，求梯形面积的最小值.
解：（Ⅰ）由已知，抛物线的准线分别为
和
， ……………2分
所以，抛物线准线间的距离为
. ……………4分
（Ⅱ）设
，代入抛物线方程，得
的横坐标分别是
和
. ………5分
，同理
， ……………7分
所以
，
所以. ……………8分
（Ⅲ）设
，
，直线
方程为
，
代入曲线
，得
，
所以
，
. ……………9分
由，得
，又
，
，
所以
，由，得
. ……………11分
所以直线方程为
，
同理可求出直线
方程为
.
所以
， ……………12分
，
平行线
与
之间的距离为
，
所以梯形的面积
， ……………13分
当
时，梯形的面积达最小，最小值为
. ……………14分