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如图所示的某种容器的体积为90cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm．圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为；圆柱的高为

h2 cm．已知圆柱底面的造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2．

（1）将圆柱的高h2表示为底面半径r的函数，并求出定义域；

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？

答案

（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，

        圆锥的体积为，圆柱的体积为．  …… 2分             

        因为，所以，

所以．                              …… 4分                        

        因为，所以．因此．

        所以，定义域为．       …… 6分  

   （2）圆锥的侧面积，

圆柱的侧面积，底面积．                  …… 8分           

        容器总造价为

                  

                   ．                         …… 10分            

令，则．令，得．

当时，，在上为单调减函数；

当时，，在上为单调增函数．

因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90元．…… 13分

所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．              …… 14分      

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