如图，以A1、A2为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C1、D1，连接CC1与OB交于点H，且有
是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；
（3）连接A1C，与双曲线E交于点F，是否存在实数
，使
恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
如图，以A1、A2为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C1、D1，连接CC1与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；
（3）连接A1C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
（1）解：由c=1知B（0，1），
即
，点C在单位圆上，
设双曲线E的方程为 
由点C在双曲线E上，半焦距c=1有：
所以双曲线E的方程为：
（2）证明：
得：
设双曲线E的方程为
① ②
①代入②，化简整理得
解得
又
，即双曲线E的离心率是与c无关的常数.
（3）
假设存在实数
，使
恒成立，
有
点
点C、F都在双曲线E上，故有
④ ③
由③得
⑤
⑤代入④得
化简整理得
即
（2）小题的结论得：
故存在实数
，使恒成立.