已知函数
令
.
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值；
（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明：
．
已知函数令.
（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（Ⅲ）若，正实数满足，证明：．
（Ⅰ）
由
得
又
所以
．所以的单增区间为
.
（Ⅱ）方法一：令
所以
．
当
时，因为
，所以
，所以
在
上是递增函数，
又因为
所以关于的不等式
不能恒成立．
当
时，
．
令
得
，所以当
时，；当
时，
．
因此函数在是增函数，在是减函数． 
故函数的最大值为
…………8分
令
因为
又因为
在
上是减函数，所以当
时，
．
所以整数
的最小值为． ……………10分
方法二：（2）由恒成立，得
在上恒成立．
问题等价于
在上恒成立．
令
，只要
． ……………………6分
因为
令
得
．
设
，因为
，所以
在上单调递减，
不妨设
的根为
．当
时，
当
时，
．
所以
在上是增函数；在上是减函数．
所以
．
因为
所以
此时
所以
即整数的最小值为2
（Ⅲ）当时，
由
即
从而
令
则由
得，
可知
在区间（0，1）上单调递减，在区间
上单调递增。所以
所以
即成立．