已知定义域为R的函数f(x)=
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)当x∈[
,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)当x∈[,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)因为f(x)在定义域R上是奇函数.
所以f(0)=0,
即
=0,
所以b=1.
又由f(-1)=-f(1),即
=-
,
所以a=2,
检验知,当a=2,b=1时,原函数是奇函数.
(2)f(x)在R上单调递减.证明:
由(1)知f(x)=
=-+
,
任取x1,x2∈R,设x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=
-
=
,
因为函数y=2x在R上是增函数,
且x1<x2,
所以
-
<0,
又(+1)(+1)>0,
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),
所以函数f(x)在R上单调递减.
(3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x),
因为f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,
即对一切x∈[,3]有k<
恒成立,
设g(x)=
=(
)2-2·,
令t=
,t∈[
,2],
则有h(t)=t2-2t,t∈[
,2],
所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,
所以k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).