首页 / 已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc.

已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc.

已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc.

答案

证明

:∵b2+c2≥2bc,a＞0,

∴a(b2+c2)≥2abc.                               ①

同理,b(a2+c2)≥2abc,                          ②

c(a2+b2)≥2abc.                                  ③

∵a,b,c不全相等,∴b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”，从而①②③三式也不能全取“=”.

∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc.

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