已知函数f(x)＝x＋x3，x∈R.
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若a，b∈R，且a＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小．
已知函数f(x)＝x＋x3，x∈R.
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若a，b∈R，且a＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小．
[解析] (1)函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数，
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝(x1＋x
)－(x2＋x
)＝(x1－x2)＋(x－x)＝(x1－x2)(x
＋x1x2＋x
＋1)
＝(x1－x2)[(x1＋
x2)2＋
x＋1]．
因为x1<x2，所以x1－x2<0，(x1＋x2)2＋x＋1>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数．
(2)由a＋b>0，得a>－b，由(1)知f(a)>f(－b)，
因为f(x)的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x－x3
＝－(x＋x3)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.