如图T4-1,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长;
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.
图T4-1
如图T4-1,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长;
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.
图T4-1
解:(1)由x2-4=0解得x1=2,x2=-2.
∵点A位于点B的左侧,
∴A(-2,0).
∵直线y=x+m经过点A,
∴-2+m=0,
∴m=2,∴D(0,2).
∴AD=
=2
.
(2)∵新抛物线经过点D(0,2),
∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,
∴y=x2+bx+2=
x+
2+2-
.
∵直线CC'平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),
∴直线CC'的函数表达式为y=x-4.
∴2-=--4,整理得b2-2b-24=0,
解得b1=-4,b2=6.
∴新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.