（山东卷理22）如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，
，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线
上，其中，点C满足
（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（山东卷理22）如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）证明：由题意设
．
由
得
，得
，
所以
，
．
因此直线
的方程为
，
直线
的方程为
．
所以
，①
．②
由①、②得
，
因此
，即
．
所以
三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当
时，
将其代入①、②并整理得：
，
，
所以
是方程
的两根，因此
，
，
又
，所以
．
由弦长公式得
．
又
，
所以
或
，因此所求抛物线方程为
或
．
（Ⅲ）解：设
，由题意得
，
则
的中点坐标为
，
设直线
的方程为
，
由点
在直线上，并注意到点
也在直线上，
代入得
．
若在抛物线上，则
，
因此
或
．即
或
．
（1）当
时，则
，此时，点
适合题意．
（2）当
，对于，此时
，
，
又
，
，所以
，
即
，矛盾．
对于，因为，此时直线平行于
轴，
又
，
所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的
点．
综上所述，仅存在一点适合题意．