已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：
．
⑴ 求椭圆的标准方程；
⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．
已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．
⑴ 求椭圆的标准方程；
⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．
解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，
∴不妨设椭圆C的方程为
．（2分）∴
，（ 4分）即
．（5分）
∴椭圆C的方程为
．（6分）
⑵ F（1，0），右准线为l：， 设
，
则直线FN的斜率为
，直线ON的斜率为
，（8分）
∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为
，（9分）
∴直线OM的方程为：
，点M的坐标为
．（11分）
∴直线MN的斜率为
．（12分）
∵MN⊥ON，∴
， ∴
，
∴
，即
．（13分）∴
为定值．（14分）
说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P，准线l与x轴交于Q，则有
，又
，所以
为定值．