如图，
是
的切线，切点为
，
是的直径，连接
交于
．过点作
于点
，交于
，连接
，
．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：为
的内心；
(3)若
，
，求
的长．
如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：为的内心；
(3)若，，求的长．
(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
.
【分析】
(1)连结
，根据圆周角定理得到
，证明
，得到
，根据切线的判定定理证明；
(2)连结
，根据切线的性质定理得到
，证明
平分
，根据三角形的内心的概念证明即可；
(3)根据余弦的定义求出
，证明
，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
(1)证明：连结，
∵
为
的直径，
∴，
∵
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴，
∵
为的切线，
∴
，
∴
，
∴
是的切线；
(2)证明：连结，
∵为的切线，
∴，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即平分，
∵、
为的切线，
∴平分
，
∴
为
的内心；
(3)解：∵
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
，
∵，
∴
，
∴
.
【点睛】
本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．