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在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O〔如

在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O〔如图(1)(2)〕的东偏南θ(θ=arccos)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

      

答案

解析:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t+60)km.

       若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ≤10t+60.

       由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2-2·PQ·POcos∠OPQ.由于PO=300,PQ=20t,

       故OQ2=(20t)2+3002-2×20t×300× =202t2-9 600t+3002.

       因此202t2-9 600t+3002≤(10t+60)2,

       即t2-36t+288≤0.

       解得12≤t≤24.

       所以12小时后该城市受到台风的侵袭.

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