设a、b、c是两两互素的正整数，证明：2abc－be－ac－ab是不能表示为xb

证明：熟知在a、b互素时，对任意整数n有整数x、y，使ax＋by＝n．当n＞ab－a－b时，首先取0≤x＜b(若x＞b则用x－b、y＋a代替x、y)，我们有

by＝n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a(b－1)＝－b

所以y＞－1也是非负整数．即n＞ab－a－b时，有非负整数x、y使ax＋by＝n．

因为a、b、c两两互素，所以(bc，ac，ab)＝1．

令(bc，ac)＝d．则(ab，d)＝1，所以方程

abz＋dt＝n                                        (1)

有整数解，并且0≤z＜d(若z＞d则用z－d、t＋ab代替z、t)．

设 bc＝da₁，ac＝db₁，那么(a₁，b₁)＝1．在n＞2abc－bc－ca－ab时，

即         t＞a₁b₁－a₁－b₁

从而方程  a₁x＋b₁y＝t                                          (2)

有非负整数解(x，y)．

由(1)与(2)消去t可得

bcx＋acy＋abz＝n

有非负整数解．

另一方面，若有非负整数x、y、z使

2abc－bc－ac－ah＝xbc＋yac＋zab

则                            bc(x＋1)＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc

于是应有，a整除bc(x＋1)，因(a，bc)＝1．所以，a整除x＋1，从而c≤x＋1．同理有，b≤y＋1，c≤z＋1．因此

3abc＝bca＋acb＋abc≤bc(x＋1)

＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc

由于a、b、c都是正整数，这是不可能的，故2abc－bc－ca－ab不能表成xbc＋yca＋zab(x、y、z为非负整数)的形式．