如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=
，cos∠ADB=
．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π
如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．
（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣
，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），
所以sin∠ADB=
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
根据正弦定理，有
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
代入AB=8，∠A=
．
解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣
，∠C∈（0，π）所以
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，
所以∠ABC+∠ADC=π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题．