(1)若
,求证:无论点P在DD1上如何移动,总有BP⊥MN.
(2)若D1P∶PD=1∶2,且PB⊥平面B1MN,求二面角NB1MB的大小.
(3)在棱DD1上是否存在这样的点P,使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.
(1)若,求证:无论点P在DD1上如何移动,总有BP⊥MN.
(2)若D1P∶PD=1∶2,且PB⊥平面B1MN,求二面角NB1MB的大小.
(3)在棱DD1上是否存在这样的点P,使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.
(1)证明：
以DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如右图所示.设正方体棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,1).
设M(1,1-x,0),N(1-x,1,0),P(0,0,z),则
=(-x,x,0),
=(-1,-1,z).
=x-x=0,∴BP⊥MN.
(2)解：
由条件知P(0,0,
),
=(-1,-1,
),
=(-1,0,0),
、
分别为面B1MN、面B1MB的法向量.
∴二面角N-B1M-B的大小等于〈
,
〉,
cos〈
,
〉=
∴〈
,
〉=arccos
.
所求二面角的大小为arccos
.
(3)解：
不妨假设存在点P,则在平面ACC1内过C作CE⊥AC1,垂足为E.设P(0,0,z),
=(-1,0,z),
λ(-1,1,1),
=(-λ+1,λ-1,λ),
由
再由
∴P为DD1中点,此时CE⊥AP.
故CE⊥平面APC1.
又CE
平面ACC1,
∴平面APC1⊥平面ACC1.