已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OA⊥OB.设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，
B(x2，y2)则
·
＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0.①
由
消去y得，2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
∴x1＋x2＝－(b＋1)，
x1x2＝
(b2＋4b－4)，②
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝(b2＋2b－4)．③
把②③式代入①得，得b2＋3b－4＝0，
解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.