设函数
．
（Ⅰ）若
在x=
处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数
的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
，证明
．
设函数．
（Ⅰ）若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．
解：（I）由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，
且
．
又∵ f(x)的图象在x=
处的切线与直线4x+y=0平行，
∴ 
，
解得 a=-6．
（Ⅱ）
，
由x>0，知
>0．
①当a≥0时，对任意x>0，
>0，
∴ 此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．
②当a<0时，令=0，解得
，
当
时，>0，当
时，<0，
此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，
)，单调递减区间为(，+∞)．
（Ⅲ）不妨设A(
，0)，B(
，0)，且
，由（Ⅱ）知 
，
于是要证<0成立，只需证：
即
．
∵
， ①
， ②
①-②得
，
即
，
∴ 
，
故只需证
，
即证明
，
即证明
，变形为
，
设
，令
，
则
，
显然当t>0时，
≥0，当且仅当t=1时，=0，
∴ g(t)在(0，+∞)上是增函数．
又∵ g(1)=0，
∴ 当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．