已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R． （Ⅰ）讨论

已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）设函数h（x）=x²﹣mx+4，当a=2时，若∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

专题：

综合题；压轴题．

分析：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a．由此能够判断f（x）的单调性．

（Ⅱ）由g（x）=ax﹣，定义域为（0，+∞），知﹣=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，由此能够求出正实数a的取值范围．

（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，，由g′（x）=0，得x=或x=2．当时，g′（x）≥0当x时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，，由此能求出实数m的取值范围．

解答：

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，

①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；

②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a；

故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）g（x）=ax﹣，g（x）的定义域为（0，+∞），

﹣=，

因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，

∴ax²﹣5x+a≥0，

∴a（x²+1）≥5x，

即，

∴．

∵，当且仅当x=1时取等号，

所以a．

（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，，

由g′（x）=0，得x=或x=2．

当时，g′（x）≥0；当x时，g′（x）＜0．

所以在（0，1）上，，

而“∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”等价于

“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”

而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，

所以有，

∴，

∴，

解得m≥8﹣5ln2，

所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．

点评：

本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．